Одной из самых сложных тем школьного курса математики, которая вызывает много споров, является «Определенный интеграл». Интеграл ввели в школьную программу в связи с реформами образования конца 60-х – начала 70-х годов XX века. Находить интегралы по готовой формуле и площадь криволинейной трапеции с помощью интегралов ребята учатся быстро, но у многих ребят тема вызывает трудности. Причины трудностей – высокий уровень абстракции понятий, недостаточность времени для осмысления сложных вопросов. Поэтому у учащихся не складывается целостное представление о понятии определенного интеграла, а остаются разрозненные, часто не связанные между собой сведения.
Понятие интеграла является одним из основных в математике. Изучение этой темы завершает школьный курс математического анализа. На изучение интегралов отводится от 8 уроков до 12 в зависимости от учебного плана и уровня изучения математики (базовый или профильный). Поэтому важно уделить пристальное внимание этой теме, для того, чтобы у ребят сложилось четкое понимание понятия и невозникло проблем при дальнейшем обучении после окончания школы.

Содержание МР

Тема: «Изучение темы «Интегралы» на уроках математики в 11 классе»

В данную разработку входят:
1. Конспект урока «Вычисление интегралов. Вычисление площадей с помощью интегралов»
2. Методические рекомендации.
3. Дидактические материалы.

Условия применения: урочная деятельность в 11 классе.

Актуальность:
Изучение темы делает школьный курс математического анализа завершенным, логически построенным, показывает значение интегралов для изучения других наук, облегчает изучение некоторых вопросов физики, геометрии. А также развивает мыслительные процессы, повышает математическую культуру.
Цель изучения данной темы – познакомить учащихся с интегрированием как операцией, обратной дифференцированию, показать применение интеграла к решению геометрических задач.
Данная тема включает в себя следующие вопросы: первообразная, основное свойство первообразной, три правила нахождения первообразных, площадь криволинейной трапеции, интеграл, формула Ньютона – Лейбница, применение интеграла.
Качественное изучение темы «Интегралы» зависит от изучения предыдущей темы «Производная и ее применение».
Обучающие должны четко понимать взаимосвязь между операциями дифференцирования и интегрирования функции, а также основную идею метода дифференциального и интегрального исчислений (зная функцию, можно установить, как она меняется в зависимости от изменения аргумента, и наоборот: зная изменение функции, можно найти либо саму функцию (при заданных начальных условиях), либо семейство функций). Таким образом, качественное изучение одной темы необходимо для понимания другой.

С понятием «интеграл» связано и нахождение площади криволинейной трапеции, получении формулы Ньютона-Лейбница.
В качестве примеров, показывающих применение интеграла к решению различных задач, в 11 классе рассматриваются задачи на нахождение площадей криволинейных трапеций и нахождение объемов тел с помощью интеграла. Нахождение объемов с использованием интеграла есть и в курсе геометрии 11 класса, обучающиеся изучают общую формулу для нахождения объемов тел вращения, позволяющую найти объем шара и его частей.
Следовательно, основное внимание при изучении темы уделяется, во-первых, нахождению первообразных и вычислению интегралов на базе таблицы первообразных и правил нахождения первообразных; во-вторых, вычислению площадей криволинейных трапеции.

Средства
Для изучения темы используем таблицы интегралов, формулу Ньютона – Лейбница, дополнительные презентационные материалы, инфографику, сборник заданий.

Наглядные материалы:
- таблица производных изученных функций;
- геометрический и физический смысл производной;
- правила дифференцирования.

Методика изучения темы

В учебнике Никольского С. М. «Алгебра и начала анализа», по которому мы обучаемся, рассмотрение задачи о вычислении площади криволинейной трапеции приводит к понятию интегральных сумм и пределу от них, после чего вводится определение определенного интеграла. При объяснении используются такие физические задачи, как задачи на работу силы, на вычисление массы стержня переменной плотности, работу электрического заряда, давления жидкости на стенку и центра тяжести. Среди приложений интеграла в физике рассматриваются следующие задачи: задачи о работе силы, работе электрического заряда, задача о массе стержня переменной плотности, задача о давлении жидкости на стенку, задача о нахождении центра тяжести системы материальных точек. Есть и теоретическое обоснование этих задач. Но недостаточное количество практических упражнений, поэтому используем дополнительные материалы.
Для сильных обучающихся можно использовать более сложные задачи с физической составляющей, для более слабых – вычисление по формулам, постепенно усложняя материал.
Хороший результат дает использование такой формы работы, как работа в парах или в мини-группах. Каждая группа получает практическую задачу, которую можно решить с использованием интеграла.
Например:
№ 1. Какую работу требуется выполнить, чтобы с помощью ракеты тело массы
m поднять с поверхности Земли, радиус которой R, на высоту h?
№ 2. Бак, имеющий форму полусферы радиуса R, целиком заполнен водой. Какую работу надо затратить, чтобы полностью выкачать воду из бака?
Решение таких задач формирует такие специальные качества, как умение строить математические модели реальных процессов и явлений, исследовать и изучать их, а, следовательно, способствует развитию мышления, памяти, внимания и речи учащихся, формированию целостного математического развития.

Практическое использование

Методическую разработку можно использовать учителям математики общеобразовательных школ, преподавателям математики колледжей при изучении данной темы, адаптировав ее с учетом способностей своих учеников. В связи с цикличностью школьного образования, изменению учебников, подходов к преподаванию материал разработки будет дорабатываться и обновляться. Из опыта работы можно сказать, что ребята не всегда уделяют должное внимание теме «Интеграл», так как на ЕГЭ заданий на вычисление интеграла и площади криволинейной трапеции практически не встречается, материал достаточно сложный, ребята не понимают важность этой темы для изучения математики в дальнейшем. Поэтому главная задача учителя объяснить материал так, чтобы у одинадцатиклассников возникло желание изучать интегралы, азарт при решении задач и чувство уверенности в своих знаниях и силах.

Данная разработка была использована в работе не только автором, но и педагогами других школ муниципального округа. Разработка урока размещена на сайте Отдела Образования администрации Андреапольского муниципального округа, на школьном сайте http://andrschkola2.ucoz.ru/index/mo_uchitelej_tochnykh_nauk/0-471 и на личном сайте в свободном доступе.

Используемые источники информации:

1. Никольский С.Н. Математика: алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Учебник. Базовый и углубленный уровни. Просвещение, 2019 г.

2. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа. Учебное пособие.- М: Просвещение, 1990 г.

3. Шилова З. В., Насибуллина Э. Ф. Некоторые методические аспекты изучения темы «Интеграл» в школьном курсе математики // Концепт: научно-методический электронный журнал официального сайта эв- ристических олимпиад «Совёнок» и «Прорыв». 2011 г.

Вот такие интересные работы делают мои пятиклассники

Начал свою работу дистанционный семинар "Инновационная деятельность педагога".

Приглашаю всех желающих.

Сайт МОУ АСОШ № 2 г. Андреаполя, администратором которого я являюсь, в общероссийском рейтинге сайтов набрал 100 баллов из 100 возможных.  (Информация об участии в рейтинге)

26 августа прошла районная педагогическая конференция.

В этом году школу закончил мой класс.

5 человек получили золотую медаль, 2 - похвальные грамоты за изучение отдельных предметов. 

Выпуск - 2016

1 апреля в нашей школе прошел   межрайонный фестиваль мастер-классов  «Современный урок в условиях ФГОС НОО и ООО»

9 юношей и девушек старших классов прошли социальные пробы в Администрации Андреапольского района. Заместитель Главы администрации Петрова Н.В. познакомила ребят с заведующими отделами администрации. Более подробно ребята познакомились с работой 2 отделов: архивного отдела и отдела ЗАГС. Небольшую беседу с ребятами провели сотрудники Тверского МЧС, которые в это время были у нас в городе. 

Выражаем огромную благодарность Петровой Н.В. и всем сотрудникам администрации, которые очень доброжелательно встретили нас и рассказали о своей работе.